MATEMÁTICA NOVENO GRADO

POTENCIACIÓN (EXPONENTES ENTEROS)    

La potenciación es la operación que permite escribir de manera abreviada una multiplicación de factores iguales. La potenciación está formada por tres términos: 
  1. La base, que es el factor que se repite 
  2. El exponente, que nos indica el número de veces que se repite el factor.
  3. La potencia, que es el resultado de resolver la multiplicación.


                                                                                     


PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

La potenciación de números reales cumple las siguientes propiedades:

1. Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos.

a^m \cdot a^n = a^{m + n}
ejemplo:
9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5



2. División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes.
\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}

3. Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes 
(a^m)^n = a^{m \cdot n}

4. Potencia de base 10
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.
Ejemplos:
10^1=10 \,
10^2=100 \,
10^3=1.000 \,
10^4=10.000 \,
10^5=100.000 \,
10^6=1.000.000 \,










5. Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"


(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n


6. Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta:


(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}





(a - b)^m \neq a^m - b^m (a + b)^m \neq a^m + b^m




EN RESUMEN:















EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

OTRAS PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN




SIGNOS DE LAS POTENCIAS

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
Explicaciones y ejemplos de ley de los signos - 2
26 = 64
(−2)6 = 64

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base
Explicaciones y ejemplos de ley de los signos - 3
23 = 8
(−2)3 = −8

APRENDE SOBRE LA POTENCIACIÓN Y SUS PROPIEDADES

NOTACIÓN CIENTÍFICA
Una de las aplicaciones más importantes de los exponentes es su uso para simplificar cálculos con números muy grandes o muy pequeños. Para esto utilizamos la notación científica.

Un número está en notación científica si está escrito de la forma m x 10n, donde n es un número entero y m un número comprendido entre 1 y 10.

Ejemplos:
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RADICACIÓN

 La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por sí mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado. Es decir: Si a y b son números reales y n es un número entero positivo tal que an = b, entonces b se denomina raíz n-sima de a. Simbólicamente: 
Se observa entonces que la radicación es una operación inversa de la potenciación, que consiste en hallar el valor de la base cuando se conocen la potencia y el exponente.




Ten en cuenta:

  • Cuando el radicando es un número positivo y el índice es un número par EXISTEN DOS RAÍCES REALES.
  • Cuando el radicando es un número positivo y el índice es un número impar EXISTE UNA RAÍZ REAL.
  • Cuando el radicando es un número negativo y el índice es un número par NO EXISTE RAÍZ REAL.
  • Cuando el radicando es un número negativo y el índice es un número impar EXISTE UNA RAÍZ REAL.
 Te lo resumo en la siguiente tabla:

Radicando
n Par
n Impar
a > 0
2 raíces reales
1 raíz real
a < 0
Ninguna raíz real
1 raíz real


Ejemplos:

Soluciones de una raíz cuadrada

Una raíz cuadrada puede tener dos soluciones o bien no tener ninguna solución.
Si el contenido de la raíz o radicando es positivo, la raíz tendrá dos soluciones una positiva y otra negativa, pero si el contenido de la raíz es negativo, la raíz no tendrá solución real.
No tener solución real significa que no tiene solución dentro del conjunto de los números reales, ya que sí que tiene solución dentro del conjunto de los números complejos el cual estudiaremos más adelante.
Vamos a ver unos ejemplos:
La raíz cuadrada de 25 tiene dos soluciones: 5 y -5:
raiz de un numero negativo
Porque tanto como 5 al cuadrado como -5 al cuadrado es 25:
raiz cuadrada de un numero negativo
Sin embargo, la raíz cuadrada de -9 no tiene solución real:
raiz negativa
Las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución real
No existe ningún número que elevado al cuadrado de como resultado un número negativo
raiz quinta de un numero negativo
En general, cualquier número (positivo o negativo) elevado a un exponente par, tiene como resultado un número positivo.

Raíces cúbicas

Las raíces cúbicas son las raíces que tienen índice 3 y son la operación contraria a elevar un número al cubo.
raices cubicas negativas
La raíz cúbica de 8 es 2 porque 2 al cubo es igual a 8.

Raíces cúbicas de números negativos

A diferencia de las raíces cuadradas, las raíces cúbicas si tienen solución cuando el número es negativo, ya que si existen números negativos que al elevarlos al cubo tengan una solución negativa:
raiz cubica negativa
En general, un número negativo elevado a un exponente impar, tiene un resultado también negativo. Por esta razón sí que existen las raíces cúbicas negativas.
Este tema junto con los ejemplos del mismo se estudiarán en la GUÍA N°3

EXPONENTES FRACCIONARIOS
Este tema junto con los ejemplos del mismo se estudiarán en la  GUÍA N°2
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