APRENDE SOBRE LOS NÚMEROS REALES
En los siguientes videos se presenta una breve descripción de cada uno de los conjuntos numéricos naturales, enteros y racionales, de modo que se evidencia la jerarquía entre los mismos. Obsérvalos con atención y retoma, aclara o redefine tus conceptos sobre los diferentes conjuntos numéricos
En los diferentes ejemplos se observa que:
Inecuaciones lineales
Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.
Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 ³ 3.
sentido de la desigualdad:
.(- 5x) £ .(- 5) Þ x £ 1 Gráficamente:
El conjunto solución es S = {x / x £ 1}
Encontrarás más sobre las desigualdades, inecuaciones lineales y los intervalos en la GUÍA N°2, la cual se encuentra ya publicada en tu aula virtual de la plataforma SIAN Empieza a resolverla ahora
Una inecuación cuadrática en una variable es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una sola incógnita y cuyo mayor exponente es dos (2). Resolver una inecuación cuadrática en una variable significa encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de las desigualdades.
Encontrarás más videos con ejemplos en la siguiente dirección: EJEMPLOS DE SOLUCIÓN DE INECUACIONES CUADRÁTICAS y las actividades de trabajo cooperativo en la GUÍA N°3
¡MANOS A LA OBRA!
Los números Reales
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de los números racionales.
Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías: propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen que los números reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por cero) obteniéndose otro número real.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del que representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.
La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si el número real a es menor que el número real b (a < b).
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto de la anterior.
Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a - b) si a < b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los números enteros (Z). Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir 
si a no es múltiplo de b.
si a no es múltiplo de b.Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de los números racionales.
Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto 
o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras decimales que se repiten 
o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras decimales que se repiten
Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b ¹ 0). Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él (
,
, p , entre otros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.
si b ¹ 0). Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él (,, p , entre otros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.
Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas cifras decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números reales (R).
Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías: propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen que los números reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por cero) obteniéndose otro número real.
Los números reales y la recta real
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta.
Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real.
Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real.
Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
- se asocia al origen el número 0
- se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,
- se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a está a la izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del que representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.
La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si el número real a es menor que el número real b (a < b).
Información tomada de https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20N%FAmeros%20reales.htm
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DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES, INTERVALOS
Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.
Ejemplos.
· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
- al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene
- al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene
- la multiplicación o división por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad
- la multiplicación o división por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera:
- Si a < b entonces a + c < b + c
- Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
- Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ .
Inecuaciones lineales
Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es verdadera. Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada. Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución.
Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.
Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando propiedades hasta obtener el conjunto solución.
· se suma - 4 a ambos miembros: 2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4)
2x < 1
· se multiplican ambos miembros por 
: x < 
: x <
La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que 
. Por lo tanto, el conjunto solución es S = 
. Gráficamente:
. Por lo tanto, el conjunto solución es S = . Gráficamente:Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 ³ 3.
La solución se obtiene de la siguiente manera:
- se suma - 8 a ambos miembros: - 5x + 8 + (- 8) ³ 3 + (- 8)
- 5x ³ - 5
- se multiplican ambos miembros por
. Como el número es negativo se invierte el
sentido de la desigualdad:
.(- 5x) £ .(- 5) Þ x £ 1 Gráficamente: El conjunto solución es S = {x / x £ 1}
Nota. Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x ³ a x £ a
esto indica que el extremo a está incluido en el mismo.
Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x > a x < a
esto indica que el extremo a no está incluido en el mismo.
Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los intervalos.
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre otros dos números reales dados. Veamos algunos ejemplos de intervalos y las maneras de representarlos:
Ejemplo 1:
el intervalo (-5,0] es el conjunto formado por todos los números reales que son mayores que -5 pero menores o iguales a cero. En la recta numérica este intervalo comienza en -5, abierto por la izquierda por eso se representa un punto vacío para indicar que el número -5 no está incluido o no pertenece al intervalo y termina en 0, cerrado por la derecha, por lo que se representa con un punto lleno para indicar que el número cero sí pertenece al intervalo
Ejemplo 2:
Representemos el intervalo [-1,3) en la recta numérica: Está cerrado por la izquierda, por lo que ponemos un punto lleno en -1 y abierto por la derecha por lo que en 3 corresponde un punto vacío:
Para responder la pregunta anterior se plantea la inecuación x + 4 > 6 cuya solución es
x > 2. Es decir, la solución es el conjunto de todos los valores reales de x mayores que 2. Por lo tanto la solución, (dada inicialmente en notación de conjunto y luego en notación de intervalo), es:
x > 2. Es decir, la solución es el conjunto de todos los valores reales de x mayores que 2. Por lo tanto la solución, (dada inicialmente en notación de conjunto y luego en notación de intervalo), es:
Encontrarás más sobre las desigualdades, inecuaciones lineales y los intervalos en la GUÍA N°2, la cual se encuentra ya publicada en tu aula virtual de la plataforma SIAN Empieza a resolverla ahora
INECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE
Una inecuación cuadrática en una variable es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una sola incógnita y cuyo mayor exponente es dos (2). Resolver una inecuación cuadrática en una variable significa encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de las desigualdades.
PASOS:
Algunas recomendaciones que debes tener en cuenta al resolver inecuaciones cuadráticas son:
- Hacer uno de los miembros de la inecuación igual a cero.
- Eliminar signos de agrupación y denominadores (si los hay) y reducir términos semejantes.
- Verificar el grado de la inecuación resultante y si es de segundo grado, FACTORIZAR, aplicando alguno de los diferentes casos.
- Analizar el signo de cada paréntesis, para ello, igualamos cada factor (PARÉNTESIS) a cero y establezcamos el punto crítico de cada uno de ellos.
- Utilizar el método del cementerio para hallar los intervalos solución, aplicando la ley de los signos.
- Expresar la solución en notación de intervalos.
EJEMPLO
¡MANOS A LA OBRA!
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