Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.
Ejemplos.
· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
- al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene
- al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene
- la multiplicación o división por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad
- la multiplicación o división por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera:
- Si a < b entonces a + c < b + c
- Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
- Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ .
Inecuaciones lineales
Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es verdadera. Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada. Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución.
Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.
Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando propiedades hasta obtener el conjunto solución.
· se suma - 4 a ambos miembros: 2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4)
2x < 1
· se multiplican ambos miembros por 
: x < 
: x <
La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que 
. Por lo tanto, el conjunto solución es S = 
. Gráficamente:
. Por lo tanto, el conjunto solución es S = . Gráficamente:
Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 ³ 3.
La solución se obtiene de la siguiente manera:
- se suma - 8 a ambos miembros: - 5x + 8 + (- 8) ³ 3 + (- 8)
- 5x ³ - 5
- se multiplican ambos miembros por
. Como el número es negativo se invierte el
sentido de la desigualdad:
.(- 5x) £ .(- 5) Þ x £ 1 Gráficamente: 
El conjunto solución es S = {x / x £ 1}
Nota. Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x ³ a x £ a
esto indica que el extremo a está incluido en el mismo.
Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x > a x < a
esto indica que el extremo a no está incluido en el mismo.
Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los intervalos.
Información tomada de https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Desigual.htm
INTERVALOS
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre otros dos números reales dados. Veamos algunos ejemplos de intervalos y las maneras de representarlos:
Ejemplo 1:
el intervalo (-5,0] es el conjunto formado por todos los números reales que son mayores que -5 pero menores o iguales a cero. En la recta numérica este intervalo comienza en -5, abierto por la izquierda por eso se representa un punto vacío para indicar que el número -5 no está incluido o no pertenece al intervalo y termina en 0, cerrado por la derecha, por lo que se representa con un punto lleno para indicar que el número cero sí pertenece al intervalo
Ejemplo 2:
Representemos el intervalo [-1,3) en la recta numérica: Está cerrado por la izquierda, por lo que ponemos un punto lleno en -1 y abierto por la derecha por lo que en 3 corresponde un punto vacío:
Para responder la pregunta anterior se plantea la inecuación x + 4 > 6 cuya solución es
x > 2. Es decir, la solución es el conjunto de todos los valores reales de x mayores que 2. Por lo tanto la solución, (dada inicialmente en notación de conjunto y luego en notación de intervalo), es:
x > 2. Es decir, la solución es el conjunto de todos los valores reales de x mayores que 2. Por lo tanto la solución, (dada inicialmente en notación de conjunto y luego en notación de intervalo), es:
Encontrarás más sobre las desigualdades, inecuaciones lineales y los intervalos en la GUÍA N°2 Empieza a resolverla ahora
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