INECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE

Una inecuación cuadrática en una variable es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una sola incógnita y cuyo mayor exponente es dos (2). Resolver una inecuación cuadrática en una variable significa encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de las desigualdades.

PASOS:

Algunas recomendaciones que debes tener en cuenta al resolver inecuaciones cuadráticas son: 

1. Hacer uno de los miembros de la inecuación igual a cero.


2. Eliminar signos de agrupación y denominadores (si los hay) y reducir términos semejantes.


3. Verificar el grado de la inecuación resultante y si es de segundo grado, FACTORIZAR, aplicando alguno de los diferentes casos.                                                                                   
4. Analizar el signo de cada paréntesis, para ello, igualamos cada factor (PARÉNTESIS) a cero y establezcamos el punto crítico de cada uno de ellos.


5. Utilizar el método del cementerio para hallar los intervalos solución, aplicando la ley de los signos.


6. Expresar la solución en notación de intervalos.

EJEMPLO

Encontrarás más videos con ejemplos en la siguiente dirección: EJEMPLOS DE SOLUCIÓN DE INECUACIONES CUADRÁTICAS y las actividades de trabajo cooperativo en la GUÍA N°3

¡MANOS A LA OBRA!

DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES, INTERVALOS

Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.

En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.

Ejemplos.

       · Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.

       · Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1

       · Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30

       · Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30

En los diferentes ejemplos se observa que:

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

• al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene
• al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene
• la multiplicación o división por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad
• la multiplicación o división por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.

Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera:

• Si a < b entonces a + c < b + c
• Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
• Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c

Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c.

Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ .

Inecuaciones lineales

Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es verdadera. Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada. Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución.

Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.

Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando propiedades hasta obtener el conjunto solución.

       · se suma - 4 a ambos miembros:   2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4)

                                                                                         2x < 1

       · se multiplican ambos  miembros  por  :          x < 

La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que . Por lo tanto, el conjunto solución es S = . Gráficamente:

Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 ³ 3.

La solución se obtiene de la siguiente manera:

• se suma - 8 a ambos miembros:     - 5x + 8 + (- 8) ³ 3 + (- 8)

                                                                                           - 5x ³ - 5

• se multiplican ambos miembros por . Como el número es negativo se invierte el

         sentido de la desigualdad: .(- 5x) £ .(- 5)      Þ      x £ 1  Gráficamente:     

                              

El conjunto solución es  S = {x / x £ 1}

Nota. Si la representación gráfica del conjunto solución es:

                                                    x ³ a                                                                      x £ a

esto indica que el extremo a está incluido en el mismo.

Si la representación gráfica del conjunto solución es:

                                                    x > a                                                                      x < a

esto indica que el extremo a no está incluido en el mismo.

Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los intervalos. 

Información tomada de https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Desigual.htm

INTERVALOS

 

Un intervalo es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre otros dos números reales dados. Veamos algunos ejemplos de intervalos y las maneras de representarlos:

Ejemplo 1: 

el intervalo (-5,0] es el conjunto formado por todos los números reales que son mayores que -5 pero menores o iguales a cero. En la recta numérica este intervalo comienza en -5, abierto por la izquierda por eso  se representa un punto vacío para indicar que el número -5 no está incluido o no pertenece al intervalo y termina en 0, cerrado por la derecha, por lo que se representa con un punto lleno para indicar que el número cero sí pertenece al intervalo

Ejemplo 2:

Representemos el intervalo [-1,3) en la recta numérica: Está cerrado por la izquierda, por lo que ponemos un punto lleno en -1 y abierto por la derecha por lo que en 3 corresponde un punto vacío:

Para responder la pregunta anterior se plantea la inecuación x + 4 > 6 cuya solución es 
x > 2. Es decir, la solución es el conjunto de todos los valores reales de x mayores que 2. Por lo tanto la solución, (dada inicialmente en notación de conjunto y luego en notación de intervalo), es:

Encontrarás más sobre las desigualdades, inecuaciones lineales y los intervalos en la GUÍA N°2 Empieza a resolverla ahora

RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS

La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por sí mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado. Es decir: Si a y b son números reales y n es un número entero positivo tal que aⁿ = b, entonces b se denomina raíz n-sima de a. Simbólicamente: 

Se observa entonces que la radicación es una operación inversa de la potenciación, que consiste en hallar el valor de la base cuando se conocen la potencia y el exponente.

Ten en cuenta:

• Cuando el radicando es un número positivo y el índice es un número par EXISTEN DOS RAÍCES REALES.
• Cuando el radicando es un número positivo y el índice es un número impar EXISTE UNA RAÍZ REAL.
• Cuando el radicando es un número negativo y el índice es un número par NO EXISTE RAÍZ REAL.
• Cuando el radicando es un número negativo y el índice es un número impar EXISTE UNA RAÍZ REAL.

 Te lo resumo en la siguiente tabla:

Radicando	n Par	n Impar
a > 0	2 raíces reales	1 raíz real
a < 0	Ninguna raíz real	1 raíz real

Ejemplos:

Soluciones de una raíz cuadrada

Una raíz cuadrada puede tener dos soluciones o bien no tener ninguna solución.

Si el contenido de la raíz o radicando es positivo, la raíz tendrá dos soluciones una positiva y otra negativa, pero si el contenido de la raíz es negativo, la raíz no tendrá solución real.

No tener solución real significa que no tiene solución dentro del conjunto de los números reales, ya que sí que tiene solución dentro del conjunto de los números complejos el cual estudiaremos más adelante.

Vamos a ver unos ejemplos:

La raíz cuadrada de 25 tiene dos soluciones: 5 y -5:

Porque tanto como 5 al cuadrado como -5 al cuadrado es 25:

Sin embargo, la raíz cuadrada de -9 no tiene solución real:

Las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución real

No existe ningún número que elevado al cuadrado de como resultado un número negativo

En general, cualquier número (positivo o negativo) elevado a un exponente par, tiene como resultado un número positivo.

Raíces cúbicas

Las raíces cúbicas son las raíces que tienen índice 3 y son la operación contraria a elevar un número al cubo.

La raíz cúbica de 8 es 2 porque 2 al cubo es igual a 8.

Raíces cúbicas de números negativos

A diferencia de las raíces cuadradas, las raíces cúbicas si tienen solución cuando el número es negativo, ya que si existen números negativos que al elevarlos al cubo tengan una solución negativa:

En general, un número negativo elevado a un exponente impar, tiene un resultado también negativo. Por esta razón sí que existen las raíces cúbicas negativas.

Este tema junto con los ejemplos del mismo se estudiarán en la GUÍA N°3

EXPONENTES FRACCIONARIOS

Este tema junto con los ejemplos del mismo se estudiarán en la  GUÍA N°2

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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Aprenderás sobre la multiplicación y división de números enteros en la GUÍA N°3, pero antes de empezar a desarrollarla echa un vistazo a lo que sigue

¿Qué operación(es) crees que se debe(n) plantear para saber el total de litros de agua que hay en el tanque al terminar el arreglo?  Veamos:

Litros de agua que ingresan_________+6 x 15

Litros de agua que salen____________-2 x 15

Entonces la operación que le permite a David saber el total de litros de agua que hay en el tanque al terminar la reparación es:

150 + (+6 x 15) + (-2 x 15) = 150 + 90 + (-30) = 210

Respuesta: 

En el tanque quedan 210 litros de agua cuando David termina la reparación.

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

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SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Aprenderás cómo los números enteros pueden servirnos para realizar operaciones y resolver situaciones. Observa:

EJEMPLO 1:

Observa que en la tabla de la segunda imagen la cantidad de la columna izquierda tiene signo más (+) porque representa lo que tiene Fredy o con los recursos que cuenta. Las cantidades de la columna derecha llevan signo menos (-) porque representan sus deudas. Estas cantidades ya estudiadas anteriormente son números relativos y al igual que otros, pueden servirnos para realizar operaciones y resolver situaciones.

Para saber cuanto dinero debe Fredy en total se deben sumar sus deudas:

(-2.500) + (-1.000) + (-3.000) = -6.500 Debe en total $6.500

Contando con lo que le dieron a Fredy para la semana, después de pagar sus deudas, ¿con cuánto cuenta realmente para sus gastos?

25.000 - 6.500 = 18.500

Situaciones como éstas son muy comunes, cuando queremos saber cuánto debemos en total al comprar varios artículos a crédito o cuando queremos saber cuánto tenemos después de pagar nuestras deudas.

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

Para saber en cuánto varió la temperatura se debe plantear una resta o diferencia. Observa:

El resultado de la variación de temperatura es: 

Temperatura máxima – Temperatura mínima 5 – (-3) = 8 

En algunos casos es necesario realizar operaciones sucesivas entre sumas y restas, además del uso de signos de agrupación. Veamos

EJEMPLO 4: 

Observa la situación planteada en el siguiente video

Veamos la solución

Aprende más sobre la suma y la resta de números enteros. Empieza a desarrollar ahora la GUÍA N°2

POTENCIACIÓN (EXPONENTES ENTEROS) Y NOTACIÓN CIENTÍFICA

POTENCIACIÓN (EXPONENTES ENTEROS)    

La potenciación es la operación que permite escribir de manera abreviada una multiplicación de factores iguales. La potenciación está formada por tres términos: 

1. La base, que es el factor que se repite 
2. El exponente, que nos indica el número de veces que se repite el factor.
3. La potencia, que es el resultado de resolver la multiplicación.

                                                                                     

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

La potenciación de números reales cumple las siguientes propiedades:

1. Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos.

ejemplo:

2. División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes.

3. Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes 

4. Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

5. Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

6. Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta:

EN RESUMEN:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

OTRAS PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

SIGNOS DE LAS POTENCIAS

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

26 = 64

(−2)6 = 64

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base

23 = 8

(−2)3 = −8

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Una de las aplicaciones más importantes de los exponentes es su uso para simplificar cálculos con números muy grandes o muy pequeños. Para esto utilizamos la notación científica.

Un número está en notación científica si está escrito de la forma m x 10ⁿ, donde n es un número entero y m un número comprendido entre 1 y 10.

Ejemplos:

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